Сложение и умножение вероятностей (окончание)

Пример 3. В непрозрачном пакете лежат 9 жетонов с номерами 1, 2, ..., 9. Из пакета наугад вынимают один жетон, записывают его номер и жетон возвращают в пакет. Затем опять вынимают жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами?

Пусть событие А состоит в том, что в первый раз вынут жетон, номер которого является простым числом, а событие В — в том, что во второй раз вынут жетон, номер которого является простым числом. Тогда и так как из чисел 1, 2, ..., 9 четыре числа являются простыми. Рассмотрим событие С, которое состоит в том, что оба раза вынуты жетоны, номера которых являются простыми числами. Событие В не зависит от события А, так как на повторное извлечение жетона не влияет то, какой жетон был вынут в первый раз (извлеченный в первый раз жетон был возвращен в пакет). Значит,

Заметим, что если бы после первого извлечения жетон не возвращался обратно, то события А и В были бы зависимыми.

Действительно, после первого извлечения жетона в пакете осталось бы 8 жетонов. Если в первый раз извлекли жетон, номер которого простое число, Если же в первый раз извлекли жетон, номер которого не простое число, то

Пример 4. В результате многократных наблюдений установили, что вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,9, а другого — 0,8. Каждый из стрелков сделал по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Рассмотрим такие события:

А — первый стрелок попал в мишень;
В — второй стрелок попал в мишень;
С — мишень поражена.

События А и В независимые. Однако воспользоваться в этом случае умножением вероятностей нельзя, так как событие С наступает не только тогда, когда оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них. Поступим иначе. Рассмотрим события , и , противо; положные соответственно событиям А, В и С. События и являются независимыми, так как промах при выстреле по мишени первого стрелка (событие ) не зависит от непоражения мишени вторым стрелком (событие ). Событие означает совместное появление событий и . Поэтому

Р() = Р() • Р().

Из свойства вероятностей противоположных событий вытекает, что

Р() = 1 - 0,9 = 0,1, Р() = 1 - 0,8 = 0,2.

Отсюда получаем, что

Р() = Р() • Р() = 0,1 • 0,2 = 0,02.

Так как события С и противоположные, то теперь несложно найти вероятность события С:

Р(С) = 1 - Р() = 1 - 0,02 = 0,98.

Значит, вероятность того, что мишень будет поражена, равна 0,98.

<<< К началу Ответы >>>