Уравнения

13. Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. Например, число 2 — корень уравнения х³ - х = 4х² - 10, так как верно равенство 2³ - 2 = 4 • 2² — 10.

Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

14. Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными. Если и левая и правая части рационального уравнения являются целыми выражениями, то уравнение называют целым. Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

15. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Например, уравнения х² = 36 и (х - 6) (х + 6) = 0 равносильные. Каждое из них имеет два корня: -6 и 6. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

Уравнения обладают следующими свойствами:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

16. Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где х — переменная, а и b — числа. Число а называется коэффициентом при переменной, число b — свободным членом.

Если а ≠ 0, то уравнение ах = b имеет единственный корень

Например, уравнение 5х = 3 имеет корень 0,6.

Если a ≠ 0 и b ≠ 0, то уравнение ах = b не имеет корней. Например, уравнение 0 • х = 9 не имеет корней.

Если а = 0 и b = 0, то корнем уравнения ах = b является любое число.

17. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b и с — некоторые числа, причем а ≠ 0. Число а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом и с — свободным членом.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

18. Если в квадратном уравнении ах² + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполное квадратное уравнение вида ах² + bх = 0 имеет два корня: 0 и Такие уравнения обычно решают разложением его левой части на множители. Например, 3х² - 15х = 3х (х - 5) = 0, х₁ = 0 и х₂ = 5.

Неполное квадратное уравнение вида ах² + с = 0 имеет два корня: если и не имеет корней, если

Решают такие уравнения, сводя их к уравнениям вида х² = m.

Например, 0,5х² - 18 = 0, 0,5х² = 18, х² = 36, x₁ = -6, х₂ = 6.

19. Дискриминантом квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 называют выражение D = b² - 4ас.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня; если D = 0, то один корень; если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет.

Корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 при D ≥ 0 находят по формуле

Для квадратного уравнения вида ах² + 2kx + с = 0 формулу корней можно записать так:

Продолжение >>>