Неравенства

25. Число а больше числа b, если разность а - b — положительное число; пишут: а > b. Число а меньше числа Ь, если разность а - b — отрицательное число; пишут: а < b.

Если а больше b или а равно b, то пишут: а ≥ b. Если а меньше b или а равно b, то пишут: а ≤ b.

Неравенства, составленные с помощью знака > или <, называют строгими. Неравенства, составленные с помощью знака ≥ или ≤, называют нестрогими.

26. Свойства числовых неравенств.

а) Если а > b, то b < а; если а < b, то b > а.
б) Если а < b и b < с, то а < с.
в) Если а < b и с — любое число, то а + с < b + с.

Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

г) Если а < b и с — положительное число, то ас < bс;

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

27. Сложение и умножение числовых неравенств.

а) Если а < b и с < d, то

а + с < b + d.

Если сложить почленно верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

б) Если а < b и с < d, где а, b, с и d — положительные числа, то

ас < bd.

Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых положительные числа, то получится верное неравенство.

Если а и b — положительные числа, а < b и n — натуральное число, то аⁿ < bⁿ.

28. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, число 1,8 — решение неравенства 5х < 10. Этому неравенству удовлетворяет и любое другое число, меньшее 2.

Решить неравенство с одной переменной — значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

29. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Неравенства, не имеющие решений, также считаются равносильными.

Неравенства с одной переменной обладают следующими свойствами:

если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

30. Числовой промежуток [а; b] — это множество всех чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х ≤ b.

Числовой промежуток (а; b) — это множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству а < х < b.

Числовой промежуток [а; b) — это множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству а ≤ х < b.

Числовой промежуток (а; b) — это множество всех чисел, удовлетворяющих двойному неравенству а < х ≤ b.

Числовые промежутки [а; +∞) и (а; +∞) — это множества всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам х ≥ а и х > а.

Числовые промежутки (-∞; b] и (-∞; b) — это множества всех чисел, удовлетворяющих соответственно неравенствам х ≤ b и х < b.

Числовой промежуток (—∞; +°∞) — это множество всех действительных чисел.

31. Неравенства вида ах > b и ах < b, где а и b — некоторые числа, а х — переменная, называются линейными неравенствами с одной переменной.

32. Если ставится задача найти общие решения нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств — значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.