Функция у = ах², ее график и свойства (продолжение)

Построим график функции , для чего составим таблицу значений этой функции:

Воспользовавшись этой таблицей, построим график функции (рис. 24, а).

Сравним графики функций и (рис. 24, б). При любом х значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси х. Иными словами, график функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

Вообще графики функций у = ах² и у = -ах² (при а ≠ 0) симметричны относительно оси х.

График функции у = ах², где а ≠ 0, как и график функции у = х², называется параболой.

Сформулируем свойства функции у = ах² при а > 0.

1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у.
4. Функция убывает в промежутке (—∞; 0] и возрастает в i промежутке [0; +∞).
5. Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток [0; +∞).

Докажем свойство 4.

Пусть х₁ и х₂ — два значения аргумента, причем х₂ > х₁, а у₁ и у₂ — соответствующие им значения функции. Составим разность у₂ - у₁ и преобразуем ее:

Так как а > 0 и х₂ - х₁ > 0, то произведение а(х₂ - x₁)(x₂ + х₁) имеет тот же знак, что и множитель х₂ + х₁. Если числа х₂ и х₁ принадлежат промежутку (-∞; 0], то этот множитель отрицателен. Если числа х₂ и х₁ принадлежат промежутку [0; +∞), то множитель х₂ + x₁ положителен. В первом случае у₂ - у₁ < 0, т. е. у₂ < у₁; во втором случае у₂ - у₁ > 0, т. е. у₂ > у₁. Значит, в промежутке (-∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) возрастает.

Теперь сформулируем свойства функции у = ах² при а < 0.

1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси у.
4. Функция возрастает в промежутке (—∞; 0] и убывает в промежутке [0; +∞).
5. Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при х = 0, наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток (—∞; 0].

Доказательство свойства 4 проводится аналогично тому, как это было сделано для функции у = ах² при а > 0.

Из перечисленных свойств следует, что при а > 0 ветви параболы у = ах² направлены вверх, а при а < 0 — вниз. Ось у является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы у = ах² является начало координат.

Построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х — различные виды преобразования графиков функции. Преобразования графиков, рассмотренные нами для функции у = ах², применимы к любой функции.

График функции у = -ƒ(x) можно получить из графика функции у = ƒ(x) с помощью симметрии относительно оси х.

График функции у = aƒ(x) можно получить из графика функции у = ƒ(x) с помощью растяжения от оси х в а раз, если а > 1, и с помощью сжатия к оси х в раза, если 0 < а < 1.

<<< К началу Окончание >>>

Функция у = ах2, ее график и свойства (продолжение)

Функция у = ах², ее график и свойства (продолжение)