Первый признак подобия треугольников

Теорема

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть АВС и А₁В₁С₁ — два треугольника, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ (рис. 191). Докажем, что

По теореме о сумме углов треугольника ∠C = 180° - ∠A - ∠B, ∠C₁ = 180° - ∠A₁ - ∠B₁, и, значит, ∠C = ∠C₁. Таким образом, углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника А₁В₁С₁.

Докажем, что стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁. Так как ∠A = ∠A₁ и ∠C = ∠C₁, то и (см. п. 53).

Из этих равенств следует, что Аналогично, используя равенства ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, получаем

Итак, стороны треугольника АВС пропорциональны сходственным сторонам треугольника А₁В₁С₁.

Теорема доказана.