Применение векторов к решению задач

Векторы могут использоваться для решения геометрических задач и доказательства теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала вспомогательную задачу.

Задача 1

Точка С — середина отрезка АВ, а О — произвольная точка плоскости (рис. 264). Доказать, что

Решение

По правилу треугольника Складывая эти равенства, получаем: Так как точка С — середина отрезка АВ, то Таким образом, или

Задача 2

Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение

Пусть ABCD — данная трапеция, М и N — середины оснований ВС и AD, а О — точка пересечения прямых АВ и CD (рис. 265). Докажем, что точка О лежит на прямой MN.

Треугольники OAD и ОВС подобны по первому признаку подобия треугольников (докажите это), поэтому

Так как то

Точка М — середина отрезка ВС, поэтому Аналогично

Подставив в это равенство выражения (1) для получим:

Отсюда следует, что векторы коллинеарны, и, значит, точка О лежит на прямой MN.