Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:

Утверждение 1⁰ непосредственно следует из формулы а утверждение 2⁰ — из определения скалярного произведения. Докажем Утверждения 3⁰ и 4⁰.

Введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов так:

Используя формулу (2), получаем

Утверждение 3⁰ доказано.

Докажем теперь утверждение 4⁰. Вектор имеет координаты {kx₁; ky₁}, поэтому

Замечание

Ясно, что распределительный закон имеет место для любого числа слагаемых. Например,