Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 3. Скалярное произведение векторов

Задачи к § 3. Скалярное произведение векторов (окончание)

Применение скалярного произведения векторов к решению задач

1054. Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то 4АМ² = АВ² + АС² + 2АВ • АС • cos А. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Решение

Точка М — середина отрезка ВС, поэтому Отсюда получаем

или 4AM² = АВ² + АС² + 2 АВ • АС • cos А. Второе утверждение задачи докажите самостоятельно.

1055. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение

Пусть АВС — равнобедренный треугольник с основанием АВ и AA₁, ВВ₁ — его медианы, проведённые к боковым сторонам (рис. 305). Введём обозначения Тогда поэтому

По условию задачи АA₁ ⊥ BB₁ и, следовательно, Далее, • = a2 cos С, • = а², • = а², поэтому равенство (6) принимает вид 0 = 5а² cos С - 4а². Отсюда получаем ∠C ≈ 36°52'.

1056. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Ответы к задачам § 3. Скалярное произведение векторов

1039. а) 45°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 180°; е) 90°; ж) 135°; з) 0°.

1040. а) 60°; б) 120°; в) 120°; г) 90°; д) 0°; е) 180°.

1041. а) 3√2; б) 0; в) -3√2.

1042. в) 0; г) а².

1043. 13.

1044. а) -2,5; б) 0; в) 5.

1047. а) x =7,5; в) х = 0.

1048. cos В = 0,

1049. ∠A ≈ 60°, ∠B ≈ 21°47', ∠C ≈ 98°13'.

1050. √129 и 7.

1051. 3.

1052. 13.

1053. -5.

<<< К началу