Перевод чисел из q-ичной в десятичную систему счисления

Перевод числа, записанного в системе счисления с основанием q, в десятичную систему счисления основан на использовании развёрнутой формы записи чисел (рис. 3.2).

Перевод числа из q-ичной системы счисления в десятичную

Для перевода числа Aq в десятичную систему счисления достаточно:
1) записать развёрнутую форму числа A_q:
2) представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;
3) вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

Переведём числа 212₃, 123₅ и 12А₁₆ в десятичную систему счисления:

212₃ = 2 • 3² + 1 • 3¹ + 2 • 3⁰ = 2 • 9 + 1 • 3 + 2 • 1 = 23₁₀;
123₅ = 1 • 5² + 2 • 5¹ + 3 • 5⁰ = 2 • 25 + 2 • 5 + 3 • 1 = 63₁₀;
12А₁₆ = 1 • 16² + 2 • 16¹ + А • 16⁰ = 1 • 256 + 2 • 16 + 10 • 1 = 298₁₀.

Перевод в десятичную систему счисления целых двоичных чисел будет значительно проще, если вспомнить и использовать уже знакомую вам таблицу степеней двойки:

Например:

Для перевода двоичного числа в десятичную систему счисления можно воспользоваться схемой Горнера:

1) 1 • 2 = 2 — возьмем 1, соответствующую самому старшему разряду числа, и умножим её на 2;
2) 2 + 0 = 2 — прибавим следующую цифру;
3) 2 • 2 = 4 — умножим результат на 2;
4) 4 + 0 = 4 — прибавим следующую цифру;
5) 4 • 2 = 8 — умножим результат на 2;
6) 8 + 1 = 9 — прибавим следующую цифру;
7) 9 • 2 = 18 — умножим результат на 2;
8) 18 + 1 = 19 — прибавим следующую цифру;
9) 19 • 2 = 38 — умножим результат на 2;
10) 38 + 1 = 39 — прибавим следующую цифру;
11) 39 • 2 = 78 — умножим результат на 2;
12) 78 + 0 = 78 — прибавим следующую цифру;
13) 78 • 2 = 156 — умножим результат на 2;
14) 156 + 0 = 156 — прибавим следующую цифру;
15) 156 • 2 = 312 — умножим результат на 2;
16) 312 + 1 = 313 — прибавим следующую цифру;
17) 313 • 2 = 626 — умножим результат на 2;
18) 626 + 1 = 627 — прибавим последнюю цифру.

Рассмотрим несколько примеров решения задач.

Пример 1. Десятичное число 57 в некоторой системе счисления записывается как 212. Определим основание этой системы счисления.

Запишем условие задачи иначе: 212_q = 57₁₀, q > 2.

Представим в виде суммы разрядных слагаемых:

212_q = 2 • q² + 1 • q¹ + 2 • q⁰ =2q² + q + 2 = 57₁₀.

Решим уравнение:

2q² + q + 2 = 57.

2q² + q - 55 = 0.

Это квадратное уравнение, его корни хх = -5,5; х₂ = 5.

Так как основание системы счисления должно быть натуральным числом, то q = 5.

Окончание >>>