Предикаты и их множества истинности

Равенства, неравенства и другие предложения, содержащие переменные, высказываниями не являются, но они становятся высказываниями при замене переменной каким-нибудь конкретным значением. Например, предложение х < 12 становится истинным высказыванием при x = 5 (5 < 12 — истина) и ложным при x = 15 (15 < 12 — ложь). Предложения такого рода называют высказывательными формами или предикатами.

Предикет — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных.

Выделим некоторый предикат Р(x) и рассмотрим множество всевозможных объектов I, к которым он относится, — область определения предиката. Можно выделить такое подмножество Р множества I, что на всех его элементах предикат Р(х) будет превращаться в истинное высказывание. Определённое таким образом Р называется множеством истинности предиката Р(х).

Рассмотрим множество учеников некоторого класса. Известно, что в этом классе два отличника — Иван и Саша. Предикат «Он отличник» будет истинным высказыванием только по отношению к этим двум ученикам и ложным по отношению ко всем остальным.

Предикаты позволяют задать множество, не перечисляя всех его элементов. Например, множество истинности предиката Р(х) = (х < 0) — множество отрицательных чисел; множество истинности предиката Р(х, у) = (х² + у² = 1) — множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Следует отметить, что многие задания, выполняемые вами на уроках математики, прямо связаны с предикатами. Например, стандартное задание «Решить квадратное уравнение х² - 3х + 2 = 0» фактически означает требование найти множество истинности предиката Р(х) = (х² - 3х + 2 = 0).

Из имеющихся предикатов с помощью логических операций можно строить новые предикаты.

Пусть А и В соответственно являются множествами истинности предикатов А(х) и В(х). Тогда пересечение множеств А и В будет являться множеством истинности для предиката А(х) & В(х), а объединение множеств А и В будет множеством истинности для предиката

Пример 5.

Найдём все целые числа 2, превращающие предикат

P(z) = (2 > 5) & (z - 2 < 15)

в истинное высказывание. Другими словами, требуется найти множество истинности предиката P(z), заданного на множестве целых чисел

Окончание >>>