Практические приложения подобия треугольников (окончание)

Измерительные работы на местности

Свойства подобных треугольников могут быть использованы при проведении различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим две задачи: определение высоты предмета и расстояния до недоступной точки.

Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно определить высоту какого- нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А₁С₁, изображённого на рисунке 199. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А, столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А,А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А₁С₁В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников (∠C₁ = ∠C = 90°, ∠B — общий). Из подобия треугольников следует: откуда

Измерив расстояния ВС₁ и ВС и зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А₁С₁ телеграфного столба. Если, например, ВС₁ = 6,3 м, ВС = 2,1 м, АС = 1,7 м, то

Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В (рис. 200). Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его.

Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А₁В₁С₁, у которого ∠A₁ = ∠A, ∠C₁ = ∠C, и измеряем длины сторон А₁В₁ и А₁С₁ этого треугольника. Так как треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны (по первому признаку подобия треугольников), то откуда получаем Эта формула позволяет по известным расстояниям АС, А₁С₁ и А₁В₁ найти расстояние АВ.

Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А₁В₁С₁ таким образом, чтобы А₁С₁ : АС = 1 : 1000. Например, если АС = 130 м, то расстояние А₁С₁ возьмём равным 130 мм. В этом случае по этому, измерив расстояние А₁В₁ в миллиметрах, мы сразу получим расстояние АВ в метрах.

Пример

Пусть АС = 130 м, ∠A = 73°, ∠C = 58° (см. рис. 200). На бумаге строим треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы ∠A₁ = 73°, ∠C₁ = 58°, А₁С₁ = 130 мм, и измеряем отрезок А₁В₁. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.

<<< К началу