Практические приложения подобия треугольников

Задачи на построение

При решении многих задач на построение треугольников применяют так называемый метод подобия. Он состоит в том, что сначала на основании некоторых данных строят треугольник, подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый треугольник.

Рассмотрим пример.

Задача 3

Построить треугольник по данным двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.

Решение

На рисунке 198, а изображены два данных угла и данный отрезок. Требуется построить треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а биссектриса при вершине третьего угла равна данному отрезку.

Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок A₁B₁ и построим треугольник А₁В₁С, у которого углы А, и B₁ соответственно равны данным углам (рис. 198, б).

Далее построим биссектрису угла С и отложим на ней отрезок CD, равный данному отрезку. Через точку D проведём прямую, параллельную А₁В₁. Она пересекает стороны угла С в некоторых точках А и В (см. рис. 198, б). Треугольник АВС искомый.

В самом деле, так как АВ || А₁В₁, то ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, и, следовательно, два угла треугольника АВС соответственно равны данным углам. По построению биссектриса CD треугольника АВС равна данному отрезку. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.

Очевидно, задача имеет решение, если сумма двух данных углов меньше 180°. Так как отрезок А,В, можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Все эти треугольники равны друг другу (объясните почему), поэтому задача имеет единственное решение.

Окончание >>>