Задачи к § 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

564. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

565. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

566. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника APQ равен 21 см.

567. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

568. Докажите, что четырёхугольник — ромб, если его вершинами являются середины сторон:

а) прямоугольника;
б) равнобедренной трапеции.

569. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

570. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.

571. В треугольнике АВС медианы АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S.

В задачах 572—574 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, С А = b, АВ = с, CH = h, AH = b_c, НВ = а_c.

572. Найдите: а) h, а и b, если b_c = 25, а_c = 16; б) h, а и b, если b_c = 36, а_c = 64; в) а, с и а_c, если b = 12, b_c = 6; г) b, с и bс, если а = 8, а_c = 4; д) h, b, а_c и b_c, если а = 6, с = 9.

573. Выразите а_c и b_c через а, b и с.

574. Докажите, что:

575. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого утла.

576. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

577. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону.

578. Используя утверждение 2⁰, п. 65, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С выполняется равенство АС² + ВС² = АВ².

Решение

Пусть CD — высота треугольника АВС (см. рис. 197). На основании утверждения 2⁰, п. 65, имеем или АС² = AD • АВ. Аналогично ВС² = BD • АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что AD + BD = АВ, получаем:

АС² + ВС² = AD • АВ + BD • АВ = (AD + BD) • АВ = АВ².

Продолжение >>>