Взаимное расположение прямой и окружности (окончание)

Докажем, что прямая р и данная окружность не имеют других общих точек. Предположим, что они имеют ещё одну общую точку С. Тогда медиана OD равнобедренного треугольника О АС, проведённая к основанию АС, является высотой этого треугольника, поэтому OD ⊥ р. Отрезки OD и ОН не совпадают, так как середина D отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой отрезка АВ. Мы получили, что из точки О проведены два перпендикуляра (отрезки ОН и OD) к прямой р, что невозможно.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

2) d = r. В этом случае ОН = r, т. е. точка Н лежит на окружности и, значит, является общей точкой прямой и окружности (рис. 211,6). Прямая р и окружность не имеют других общих точек, так как для любой точки М прямой р, отличной от точки Н, ОМ > ОН = r (наклонная ОМ больше перпендикуляра ОН), и, следовательно, точка М не лежит на окружности.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

3) d > r. В этом случае ОН > г, поэтому для любой точки М прямой р ОМ ≥ ОН > r (рис. 211, в). Следовательно, точка М не лежит на окружности.

Итак, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

<<< К началу