Задачи повышенной трудности к главе V. Четырёхугольники

811. Дан выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны. Докажите, что

A₁A₂ — А₄А₅ = А₅А₆ — А₂А₃ = А₃А₄ — А₆А₁.

812. Положительные числа а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ и а₆ удовлетворяют условиям а₁ - а₄ = а₅ - а₂ = а₃ - а₆. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник все углы которого равны, причём А₁А₂ = а₁, А₂А₃ = а₂, А₃А₄ = а₃, А₄А₅ = а₄, А₅А₆ = a₅ и А₆А₁ = а₆.

813. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

814. Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

815. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

816. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.

817. Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.

818. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

819. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

820. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

821. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.

822. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

823. На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что AM = ВК + DM.

824. На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму ∠BAE + ∠CAE + ∠DAE.

рис. 268

825. Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что ∠MAB = 60°, ∠MCD= 15°. Найдите ∠MBC.

826. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, БАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.

827. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

828. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Ответы >>>