Ответы к задачам повышенной трудности: глава V. Четырёхугольники

811. Указание. Продолжив через одну стороны данного шестиугольника, получить равносторонний треугольник.

812. Указание. Сначала доказать, что а₁ + а₂ + а₃ = а₃ + а₄ + а₅ = а₅ + а₆ + а₁. Затем построить равносторонний треугольник, сторона которого равна а₁ + а₂ + а₃, и воспользоваться задачей 811.

814. Указание. Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Учесть, что вершина С лежит внутри угла BAD, поэтому луч АС проходит внутри этого угла и, следовательно, пересекает отрезок BD. Аналогично рассмотреть луч BD и угол АВС.

815. Указание. Если данный четырёхугольник ABCD выпуклый, то воспользоваться задачей 814. Если ABCD — невыпуклый четырёхугольник и, например, прямая АВ пересекает сторону CD в точке М, то рассмотреть два случая: А — точка отрезка МВ и В — точка отрезка AM.

816. Указание. Пусть Р — точка пересечения прямых DE и АВ, DO || АС и О ∈ АВ. Сначала доказать, что АРЕ, AOD и POD — равнобедренные треугольники.

817. Указание. Сначала доказать неравенства где а, b, с — стороны треугольника, m_a — медиана, проведённая к стороне а.

818. Указание. Сначала доказать, что диагонали данного четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам.

819. Прямая, параллельная данной прямой.

820. Указание. Воспользоваться задачами 388, а и 389, а.

821. Указание. Воспользоваться задачей 428.

822. Указание. Пусть О₁, О₂, О₃, О₄ — точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах АВ, ВС, CD и DA данного параллелограмма ABCD. Сначала доказать равенство треугольников АО₁О₄, ВО₁О₂, СО₂О₃, DО₃О₄.

823. Указание. На луче АВ отложить отрезок AN, равный отрезку AM, провести отрезок MN и провести высоту NS треугольника AMN. Затем доказать, что ANS = MAD и АКВ = NMS.

824. 90°. Указание. Пусть D₁ — точка, симметричная точке D относительно точки Е. Сначала доказать, что ACD₁ — равнобедренный прямоугольный треугольник.

825. 30°. Указание. На луче AM отложить отрезок АК = АВ и, рассмотрев ВКС, доказать, что точка К совпадает с точкой М.

826. Указание. Сначала доказать, что ВКР = АВС = CQT.

827. Указание. Сначала построить равнобедренный треугольник, основание которого равно сумме оснований трапеции, а боковая сторона равна диагонали трапеции.

828. а) Указание. Сначала доказать, что ось симметрии пересекает одну из сторон треугольника.

<<< К началу