Задачи повышенной трудности к главе VIII. Окружность

877. Две окружности имеют единственную общую точку М. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках А и A₁, а другую — в точках В и В₁. Докажите, что АА₁ || ВВ₁.

878. Прямая АС — касательная к окружности с центром O₁, а прямая BD — касательная к окружности с центром О₂ (рис. 270). Докажите, что:

а) AD || ВС;
б) АВ² = AD • ВС;
в) BD² : АС² = AD : ВС.

рис. 270

879. Точки В₁ и С₁ — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN.

рис. 271

880. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

881. Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величина где AD — расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение.

882. Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках О₁ и O₂ проведена прямая, пересекающая одну окружность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой О₁O₂

883. Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой АВ. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.

884. Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята точка М так, что ∠BMC = 30°, ∠BMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ.

885. Через каждую вершину треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы треугольника АВС.

886. Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника АВС, а А', В', С' — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ. Докажите, что точки А', В', С' лежат на окружности, описанной около треугольника АВС.

887. Отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что BD² = АВ • ВС - AD • DC.

888. Из вершины В треугольника АВС проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН.

889. Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.

890. Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.

891. В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне CD. Докажите, что CD = ВС + AD.

892. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению её оснований.

893. Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).

894. Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус г вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d² = R² - 2Rr (формула Эйлера).

895. Для неравностороннего треугольника АВС точка О является центром описанной окружности, Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты АА₁, ВВ₁ и СС₁, точки А₂, В₂, С₂ — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки А₃, В₃, С₃ — середины сторон треугольника АВС. Докажите, что точки А₁₁, B₂, С₃, А₂, В₂, С₂, А₃, В₃, С₃ лежат на одной окружности (окружность Эйлера).

896. Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).

897. Постройте общую касательную к двум данным окружностям.

898. Даны окружность с центром О, точка М и отрезки P₁Q₁ и P₂Q₂. Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на ней хорду, равную P₁Q₁, и расстояние от точки М до прямой р равнялось P₂Q₂.

899. Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.

900. Постройте треугольник:

а) по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой к данной стороне;
б) по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и периметру.

901. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведённые из одной вершины.

902. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого эти точки являются основаниями высот. Сколько решений имеет задача?

Ответы >>>