Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса г с центром С в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка С имеет координаты (x₀; у₀) (рис. 286). Расстояние от произвольной точки М (х; у) до точки С вычисляется по формуле Если точка М лежит на данной окружности, то МС = r, МС² = r², т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

(х - х₀)² + (у - у₀)² = r². (1)

Если же точка М (х; у) не лежит на данной окружности, то МС² ≠ r², и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х₀; у₀) имеет вид:

(х - х₁)² + (у - у₀)² = r².

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

х² + у² = r².

Задача

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Решение

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде (х + 3)² + (у - 4)² = r², где r — пока неизвестный радиус окружности. Найдём его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т. е. координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому уравнению: (0 + 3)² + (0 - 4)² = r². Отсюда r² = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид (х + 3)² + (у - 4)² = 25.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение х² + у² + 6х - 8у = 0, которое также является уравнением данной окружности.