Задачи к § 2. Соотношения между сторонами и углами треугольника (продолжение)

1033. Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Решение

Пусть R — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. Докажем, что или BC = 2R sin А.

Проведём диаметр ВА₁ (рис. 297) и рассмотрим треугольник А₁ВС (случай, когда точки А₁ и С совпадают, рассмотрите самостоятельно). Угол С этого треугольника прямой, поэтому ВС = ВА₁ • sin А₁. Но sin А₁ = sin А. Действительно, если точка A₁ лежит на дуге ВАС (рис. 297, а), то ∠A₁ = ∠A, а если на дуге BDC (рис. 297, б), то ∠A₁ = 180° - ∠A. И в том, и в другом случае sin А₁ = sin А. Следовательно,

ВС = ВА₁ • sin А, или ВС = 2R sin А.

Рис. 297

1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании равен 70°. Найдите периметр трапеции.

1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если АВ = 13см, СЕ = 9 см, ED = 4 см и расстояние между точками В и D равно 4√3 см.

1036. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить (рис. 298). Основание башни он видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к горизонту. Какова высота башни?

Рис. 298

1037. Для определения ширины реки отметили два пункта А и В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили углы САВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу у кромки воды. Оказалось, что ∠CAB= 12°30', ∠ABC = 72°42'. Найдите ширину реки.

1038. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.

Рис. 299

<<< К началу Ответы >>>