Исследовательские задачи. Геометрия 7—9 классы

Предлагаемые задачи ориентированы на проведение исследований, связанных как с решением некоторых задач из учебника, так и с постановкой новых задач.

Исследовательские задачи 7 класс

1 Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, используя не только стороны и углы, но также медианы, биссектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают задачи 161, 176, 329.

Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся: создать банк признаков равенства треугольников; может использоваться как предмет интеллектуального соревнования между двумя или несколькими группами учащихся.

2 Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треугольников.

3 Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

4 Для каждого из новых признаков равенства треугольников рассмотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют в признаке.

Исследовательские задачи 8 класс

1 Задача 813 и её обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника. (Предложите способ решения, применимый для любого четырёхугольника.)

2 Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (задачи 852, 889, 893, 1286). Предложите свои задачи на применение этой теоремы.

3 Окружность Эйлера (задача 895). Дополнительно исследуйте, сколько точек, указанных в задаче 895, могут быть различными.

4 Прямая Симеона (задача 896). Исследуйте все возможные случаи.

5 Прямая Эйлера: докажите, что в любом неравностороннем треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот (или их продолжений), центр описанной около треугольника окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной прямой. Установите, в каком отношении эти точки разделяют отрезок с концами в крайних точках.

Исследовательские задачи 9 класс

1 Проведите полное исследование задачи на построение треугольника АВС по углу А и сторонам АВ и ВС. При каких условиях задача:

а) имеет решение;
б) имеет единственное решение;
в) имеет не единственное решение (и сколько решений);
г) не имеет решений?

2 Окружности Аполлония и их свойства (задачи 981, 1286).

3 Использование движений в задачах на доказательство (задачи 1178—1180, 1291—1296).

4 Использование движений в задачах на построение (задачи 1181—1183, 1297—1303).