Об аксиомах планиметрии (окончание)

Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.

15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллельных прямых.

16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Отметим, что для построения геометрии можно использовать различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы параллельных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о том, что сумма углов треугольника равна 180°. Тогда утверждение «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной» можно доказать как теорему (попробуйте провести такое доказательство самостоятельно). От различных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были эквивалентны, т. е. приводили бы к одним и тем же выводам.

Иногда стремятся к тому, чтобы аксиомы были независимы, т. е. ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Мы не ставили перед собой такой цели. Например, утверждение аксиомы 5 может быть доказано на основе остальных аксиом, т. е. фактически это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Однако для упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы.

В заключение рассмотрим одну из самых первых теорем нашего курса — теорему, выражающую первый признак равенства треугольников (п. 15). Её доказательство опиралось на наглядные представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы тогда ещё не было введено. Напомним это доказательство и рассмотрим его с точки зрения принятых нами аксиом.

Нужно было доказать, что если АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁ и ∠A = ∠A₁, то треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны. С этой целью мы рассматривали такое наложение, при котором вершина А совмещается с вершиной А₁, а стороны АВ и АС треугольника АВС накладываются соответственно на лучи А₁С₁ и А₁В₁. При этом мы опирались на наглядно очевидный факт, что такое наложение существует, поскольку углы А и А₁ равны. Теперь можно сказать, что существование такого наложения следует из аксиомы 10.

Далее мы рассуждали так: поскольку АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной A₁B₁, а сторона АС — со стороной А₁С₁, в частности совместятся точки В и В₁, С и С₁. Как обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто.

По аксиоме 8 на луче А₁В₁ от точки A₁ можно отложить только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы AB = A₁B₁, поэтому при нашем наложении точка В совместится с точкой В₁. Аналогично точка С совместится с точкой С,. Остаётся сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС совместится со стороной В₁С₁. Теперь можно сделать вывод, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместились и, значит, они равны.

Как видим, само доказательство теоремы о первом признаке равенства треугольников, по существу, не изменилось, только теперь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на аксиомы, в которых эти факты выражены.

<<< К началу