Об аксиомах планиметрии (продолжение)

Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фигуры Ф на равную ей фигуру Ф₁, как мы представляем его наглядно, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фигуры Ф₁. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф сопоставляется некоторой точке фигуры Ф₁. Но мы можем сопоставить каждую точку фигуры Ф некоторой точке фигуры Ф₁ и без непосредственного наложения Ф на Ф₁ (рис. 374). Такое сопоставление называется отображением фигуры Ф на фигуру Ф₁ (при этом подразумевается, что каждая точка фигуры Ф₁ оказывается сопоставленной некоторой точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем отображение Ф на Ф₁. Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается на определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Рис. 374

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф₁ — две фигуры. Если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф₁, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁, или фигура Ф равна фигуре Ф^₁. Сформулируем теперь аксиомы о свойствах наложений.

7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и притом только одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.

9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то неразвёрнутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с границей ОА существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что угол CDE равен углу АОВ.

10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h₁k₁ двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h₁, а луч k — с лучом k₁; 2) так, что луч h совместится с лучом k₁, а луч k — с лучом h₁.
11. Любая фигура равна самой себе.
12. Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.
13. Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигура Ф, равна фигуре Ф₃.

Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и поэтому не вызывают сомнений.

Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки.

Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок АА₁ = PQ, на луче A₁B — отрезок A₁A₂ = PQ и т. д. до тех пор, пока точка А_n не совпадёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между А_n и А_{n + 1}. В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом n (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ n раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближённо выражается числом n. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток А_nВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так:

14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

<<< К началу Окончание >>>