Дополнительные задачи к главе I. Геометрия

71. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую. Сколько получилось прямых?

72. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

73. Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении трёх прямых, проходящих через одну точку?

74. Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние:

а) между точками N и Р;
б) между точками N и М.

75. Три точки К, L, М лежат на одной прямой, КL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

76. Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР - 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между:

а) точкой А и серединой отрезка QB;
б) серединами отрезков АР и QB.

77. Отрезок длины m разделён:

а) на три равные части;
б) на пять равных частей.

Найдите расстояние между серединами крайних частей.

78. Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.

79*. Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что BC = 2MN.

80. Известно, что ZAOB = 35°, ZBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

81. Угол hk равен 120°, а угол hm равен 150°. Найдите угол km. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

82. Найдите смежные углы, если:

а) один из них на 45° больше другого;
б) их разность равна 35°.

83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

84. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

85.* Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.

86. Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые m и n так, что m⊥a, n⊥b. Докажите, что прямые m и n не совпадают.

Ответы к дополнительным задачам к главе I

71. Шесть прямых.

72. Шесть точек.

73. Двенадцать углов. 74. а) 8 см; б) 16 см. 75. 16 см или 4см.

76.

79. Указание. Рассмотреть два возможных случая: точки В и С лежат по разные стороны или по одну сторону от точки А. 80. 85° или 15°.

81. 30° или 90°.

82. а) 67°30' и 112°30'; б) 72°30' и 107°30'.

83. 90°.

85. Указание. Доказать, что угол ABD развёрнутый.

86. Указание. Предположить, что прямые тип совпадают, и воспользоваться утверждением п. 12.