Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми (окончание)

Из доказанной теоремы следует, что точка, движущаяся по одной из параллельных прямых, всё время находится на одном и том же расстоянии от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Отметим, что расстояние между параллельными прямыми равно наименьшему из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Замечание 1

Справедливо утверждение, обратное доказанной теореме: все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной. (Докажите это самостоятельно.)

Замечание 2

Из доказанной теоремы и ей обратной следует, что множество всех точек плоскости, народящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

В самом деле, пусть а — данная прямая, d — данное расстояние. Отметим на прямой а произвольную точку А и проведём отрезок АВ длины d, перпендикулярный к прямой а; через точку В проведём прямую B, параллельную прямой а (сделайте соответствующий рисунок). По доказанной теореме все точки прямой B находятся на расстоянии d от прямой а, т. е. все они принадлежат искомому множеству. В силу обратной теоремы любая точка искомого множества лежит на прямой B. Таким образом, искомым множеством является прямая B.

Множество всех точек, удовлетворяющих какому-либо условию, иногда называют геометрическим местом точек, удовлетворяющих этому условию. Можно сказать тем самым, что геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.

На этом факте основано устройство инструмента, называемого рейсмусом (рис. 139, а). Рейсмус используется в столярном деле для разметки на поверхности деревянного бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска металлическая игла прочерчивает отрезок прямой, параллельный краю бруска (рис. 139, б).

рис. 139

<<< К началу