Построение треугольника по трём элементам

Задача 1

Построить треугольник по двум сторонам и Углу между ними.

Решение

Прежде всего уточним, как нужно понимать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно построить.

Даны отрезки P₁Q₁, P₂Q₂ и угол hk (рис. 140, а). Требуется с помощью циркуля и линейки (без масштабных делений) построить такой треугольник АВС, у которого две стороны, скажем АВ и АС, равны данным отрезкам P₁Q₁ и P₂Q₂, а угол А между этими сторонами равен данному углу hk.

Проведём прямую а и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку P₁Q₁ (рис. 140, б). Затем построим угол ВАМ, равный данному углу hk (как это сделать, мы знаем). На луче AM отложим отрезок АС, равный отрезку P₂Q₂, и проведём отрезок ВС. Построенный треугольник АВС — искомый.

рис. 140

В самом деле, по построению АВ = P₁Q₁, АС = P₂Q₂, A = hk.

Описанный ход построения показывает, что при любых данных отрезках P₁Q₁, P₂Q₂ и данном неразвёрнутом угле hk искомый треугольник построить можно. Так как прямую а и точку А на ней можно выбрать произвольно, то существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу (по первому признаку равенства треугольников), поэтому принято говорить, что данная задача имеет единственное решение.

Окончание >>>