Многоугольник

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов — фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной. Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой, и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником, её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника.

рис. 150

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆. Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С₁C₅ и С₂С₃ (а также С₃С₄ и С₁C₅) имеют общую точку.

рис. 151

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая — внешней областью многоугольника.

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.

рис. 153