Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 1. Многоугольники

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке 154 многоугольник F₁ является выпуклым, а многоугольник F₂ — невыпуклым.

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А_nА₁А₂, А₁А₂А₃, ..., А_n-1А_nА₁ называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.

Для этого соединим диагоналями вершину А₁ с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) • 180°.

Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) • 180°.

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А₁А₂ ... А_n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

180° - А₁ + 180° - А₂ + ... + 180° - А_n =
= n • 180° - (A₁ + А₂ +... + А_n) =
= п • 180° - (n - 2) • 180° = 360°.

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.