Задачи к § 2. Параллелограмм и трапеция (продолжение)

385. Докажите теорему Фалеса¹: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

¹ Фалес Милетский — древнегреческий учёный (ок. 625—547 гг. до н. э.).

Решение

Пусть на прямой l₁ отложены равные отрезки А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄, ... и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l₂ в точках В₁, В₂, В₃, В₄, ... (рис. 165). Требуется доказать, что отрезки В₁В₂, В₂В₃, В₃В₄, ... равны друг другу. Докажем, например, что В₁В₂ = В₂В₃.

Рассмотрим сначала случай, когда прямые l₁, и l₂ параллельны (рис. 165, а). Тогда A₁А₂ = В₁В₂ и А₂А₃ = В₂В₃ как противоположные стороны параллелограммов А₁В₁В₂А₂ и А₂В₂В₃А₃. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то и В₁В₂ = В₂В₃. Если прямые l₁ и l₂ не параллельны, то через точку В₁ проведём прямую l, параллельную прямой l₁ (рис. 165, б). Она пересечёт прямые А₂В₂ и А₃В₃ в некоторых точках С и D. Так как А₁А₂ = А₂А₃, то по доказанному B₁C = CB. Отсюда получаем: B₁B₂ = B₁B₃ (задача 384). Аналогично можно доказать, что В₂В₃ = В₃В₄ и т. д.

рис. 165

386. Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.

387. Найдите углы В и В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C =117°.

388. Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны.

389. Докажите, что трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.

390. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.

391. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

392. Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4см, b = 7см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если а = 10 см, b = 15 см, α = 45°.

393. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.

Решение

в) Даны три отрезка M₁N₁, M₂N₂, M₃N₃ (рис. 166, а). Требуется построить параллелограмм ABCD, у которого смежные стороны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам M₁N₁ и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃. Проведём решение задачи по схеме, описанной на с. 94.

Анализ

Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен (рис. 166, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD равны данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃. Это обстоятельство подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нужно построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем достроить его до параллелограмма ABCD.

Построение

Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и BD равнялись соответственно отрезкам M₂N₂ и M₃N₃ (как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем построим прямую, проходящую через точку В параллельно AD, и вторую прямую, проходящую через точку D параллельно АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 166, в). Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.

рис. 166

Доказательство

По построению АВ || CD и ВС || AD, поэтому ABCD — параллелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по построению равны отрезкам и M₂N₂, а диагональ BD равна отрезку M₃N₃, т. е. параллелограмм ABCD — искомый.

Исследование

Ясно, что если по трём данным отрезкам M₁N₁, M₂N₂ и M₃N₃ можно построить треугольник ABD, стороны которого равны этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD. Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно доказать, что если задача имеет решение, то это решение единственно (см. п. 39).

<<< К началу Ответы >>>