Формула Герона

Теорема

Площадь S треугольника со сторонами а, b, с выражается формулой где — полупериметр треугольника.

Доказательство

Рассмотрим треугольник АВС, в котором AB = с, ВС = а, АС = b. В любом треугольнике по крайней мере два угла острые. Пусть А и В — острые углы треугольника АВС. Тогда основание Н высоты СН треугольника лежит на стороне АВ. Введём обозначения: CH = h, АН = у, НВ = х (рис. 187). По теореме Пифагора a² - x² = h² = b² - y², откуда у² - х² = b² - а², или (у - х) (у + х) = b² - а². Так как у + х = с, то

рис. 187

Сложив два последних равенства и разделив на 2, получим:

Поэтому

Формула Герона

Теорема доказана.

Выведенную нами формулу обычно называют формулой Герона, по имени древнегреческого математика Герона Александрийского, жившего предположительно в I в. н. э.