Теорема, обратная теореме Пифагора

Теорема

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство

Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым Углом С₁, у которого А₁С₁ = АС и В₁С₁ = ВС. По теореме Пифагора и, значит, Но АС² + ВС² = АВ² по условию теоремы. Следовательно, откуда А₁В₁ = АВ.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C₁, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным: 5₁ = 3₁ + 4₁. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13; 8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Можно доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами a = 2k • m • n, b = k(m² - n²), c = k(m² + n²), где k, m и n — любые натуральные числа, такие, что m > n.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на верёвке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы верёвки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.