§ 1.28. Примеры решения задач (окончание)

Задача 4

На рисунке 1.109 изображена батарея конденсаторов. Их емкости равны С₁ = С, С₂ = 2С, С₃ = ЗС, С₄ = 6С. Изменится ли емкость батареи, если между точками А и В включить конденсатор с емкостью С₅ = 8С?

Решение. Обозначим потенциалы на зажимах батареи φ₁ и φ₂, а в точках А и В соответственно φ₃ и φ₄.

Так как конденсаторы C1 и СЗ соединены последовательно, то их заряды одинаковы, т. е.

C₁(φ₁ - φ₃) = С₃(φ₃ - φ₂). (1.28.1)

Аналогично

С₂(φ₁ - φ₄) = С(φ₄ - φ₂). (1.28.2)

Разделив почленно равенство (1.28.1) на равенство (1.28.2) и учитывая, что, согласно условию задачи,

Отсюда найдем, что φ₃ = φ₄, т. е. точки А и В имеют одинаковые потенциалы. Поэтому если включить какой-либо конденсатор между точками А и В (рис. 1.110), то он не зарядится и, следовательно, не повлияет на емкость системы.

Схема, подобная схеме, изображенной на рисунке 1.110, называется мостовой. Конденсаторы С1 и С2, СЗ и С4 называются плечами моста. Обратите внимание, что если емкости плеч моста пропорциональны то точки А и В имеют одинаковые потенциалы. Конденсатор С5 не заряжается, и его из схемы можно удалить (см. рис. 1.109).

Задача 5

Найдите емкость батареи конденсаторов, изображенной на рисунке 1.111. Емкость каждого конденсатора равна С.

Решение. Данная схема соединения конденсаторов эквивалентна схеме, изображенной на рисунке 1.112. В этом можно убедиться, проверив, что каждый из конденсаторов соединен с источником и с другими конденсаторами точно так же, как в исходной схеме. Вследствие равенства емкостей всех конденсаторов разность потенциалов между точками А и В равна нулю. Поэтому конденсатор 4 можно исключить (см. задачу 4). В результате получится схема, изображенная на рисунке 1.113. Она состоит из трех параллельных ветвей, две из которых содержат по два последовательно включенных конденсатора. Общая емкость системы

Задача 6

Два маленьких шарика радиусом r несут заряды q₁ и q₂, различные по модулю, но одинаковые по знаку. Шарики первоначально находятся на расстоянии l друг от друга. Один из шариков закреплен. Второй шарик, удаляясь под действием электростатических сил, приобретает максимальную кинетическую энергию W_k1. Если перед началом движения второго шарика оба шарика на некоторое время были соединены проводником, то второй шарик, удаляясь, приобретает максимальную кинетическую энергию W_k2 > W_k1. Определите количество теплоты, выделившееся в проводнике при соединении шариков, и выясните, за счет какой энергии выделяется эта теплота и увеличивается кинетическая энергия второго шарика.

Решение. Согласно закрну сохранения энергии в первом случае

W_k01 + W_p01 + W_0c = W_k1 + W_p1 + W_1c,

где W_k01 и W_p01 + W_0c — начальные, a W_k1 и W_p1 + W_1c — конечные значения кинетической и потенциальной энергий системы двух шариков. Причем WpQ1 и W_p1 — потенциальные энергии взаимодействия шариков, a W_p01 и W_1c — их суммарные собственные энергии, одинаковые по модулю. Считая потенциальную энергию взаимодействия при бесконечно большом расстоянии между шариками равной нулю и учитывая, что W_k01 = 0, получим:

После соединения проводником заряды шариков становятся одинаковыми и равными Начальная потенциальная энергия шариков изменяется. Кинетическая энергия второго шарика на бесконечности теперь равна:

Нетрудно видеть, что действительно W_k2 > W_k1 Кроме того, в проводнике выделяется количество теплоты Q. Однако, разумеется, полная энергия должна сохраняться. Увеличение кинетической энергии и выделение теплоты во втором случае происходит за счет уменьшения собственной потенциальной энергии заряженных шариков при их соединении.

С учетом собственной энергии шариков конечную энергию в первом случае можно представить в виде

W₁ = W_k1 + W_1c

где — собственная энергия шариков. Конечную энергию во втором случае запишем так:

Количество выделенной теплоты равно:

<<< К началу параграфа