Линейная функция и её график (продолжение)

Пример 5. Построим график функции у = -2.

Любому значению х соответствует одно и то же значение y, равное -2. Отметим две какие-нибудь точки с ординатой -2, например Р(0; -2) и N(4; -2), и проведём через них прямую (рис. 35). Прямая РN — график линейной функции у = -2.

Расположение графика функции у = kx + b на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

На рисунке 36 изображены прямые, которые являются графиками линейных функций, заданных формулами вида у = kx + b с одинаковыми коэффициентами при х и различными значениями b. Все эти прямые параллельны и наклонены k оси х под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэффициента k.

Число k называют угловым коэффициентом прямой — графика функции у = kx + b. Если k > 0, то угол наклона прямой у = kx + b к оси х острый; если k < 0, то этот угол тупой. На рисунке 37 для каждого случая этот угол показан с помощью стрелки.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

Из формулы у = kx + b следует, что при х = 0 значение у равно b. Значит, график функции у = kx + b пересекает ось у в точке с координатами (0; b). На рисунке 38 изображены прямые, которые являются графиками функций, заданных формулами вида у = kx + b с различными k и одним и тем же значением b. Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси у.

Заметим, что если область определения линейной функции состоит не из всех чисел, то её график представляет собой соответствующую часть прямой. Например, это может быть полупрямая или отрезок.

Упражнения

313. Каждую секунду в бассейн поступает 0,5 м³ воды. Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сейчас в нём 120 м³ воды? Задайте формулой зависимость объёма воды в бассейне от времени его наполнения. Является ли эта зависимость линейной функцией?

314. Длина прямоугольника х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

315. Ученик имел 85 р. На эти деньги он купил х марок но 10 р. После покупки у него осталось у р. Задайте формулой зависимость у от х. Является ли эта зависимость линейной функцией?

316. Является ли линейной функция, заданная формулой:

317. Линейная функция задана формулой у = 0,5х + 6. Найдите значение у, соответствующее х = -12; 0; 34. При каком х значение у равно -16; 0; 8?

318. Линейная функция задана формулой y = -3x + 1,5. Найдите:

а) значение у, если х = -1,5; 2,5; 4;

б) значение х, при котором у = -4,5; 0; 1,5.

319. Постройте график функции, заданной формулой:

а) у = -2х + 1;
б) у = 0,2x + 5;
в) у = -х + 4,5;
г) у = х + 1,5;

е) у =-х - 3,5;
ж) у = -3х + 4;
з) у = -х + 3;
и) у = х - 2.

320. (Задача исследование.) Дана линейная функция у = kх + 4. При каком значении к график этой функции:

а) параллелен графику прямой пропорциональности у = -х;

б) не пересекает ось абсцисс;

в) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 3;

г) проходит через точку пересечения графиков функций у - 12-х и у = х + 4?

Обсудите ответы на поставленные вопросы.

321. Постройте график функции у = -10x + 40, выбрав масштаб: по оси x — в 1 см одна единица, по оси у — в 1 см 10 единиц. Найдите по графику:

а) значение y, соответствующее х = -2,5; 0,8; 3,5;

б) значение х, которому соответствует у = 70; -10; -30.

322. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

а) у = -2,4x + 9,6;
б) у = -0,7x - 28;

в) у = 1,2x + 6;
г) у = -5x + 2.

323. В какой точке пересекает ось x график функции, заданной формулой:

324. Не выполняя построения графика функции у = 1,2x - 7, выясните, проходит ли этот график через точку:

а) A(100; 113);
б) В (-15; -25);

в) С(-10; 5);
г) D(300; 353).

325. В одной и той же координатной плоскости постройте графики функций у = 6, у = 3,2, у = -1, у = -5, у = 0.

326. Постройте графики функций у = -2, у = -1,9, у =1,6, у = 7.

327. Найдите координаты точки пересечения графиков функции:

а) у = 10x - 8 и у = -3x + 5;

б) у = 14 - 2,5x и у = 1,5x - 18;

в) у = 14х и у = х + 26;

г) у = -5x + 16 и у = -6.

<<< К началу Окончание >>>