Многочлен и его стандартный вид

Выражение 4х²у - 5ху + 3х - 1 представляет собой сумму одночленов 4х²у, -5xy, 3х и -1. Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, членами многочлена 4х²у - 5ху + 3х - 1 являются одночлены 4x²y, -5хy, 3х и -1.

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трёх членов — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 5а²b + 2 + 4аb² - 3а²b - 7 члены 5а²b и -3а²b являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и -7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене — приведением подобных членов многочлена.

Пример 1. Приведём подобные члены в многочлене

5а²b + 2 + 4аb² - 3а²b - 7

Имеем

5а²b + 2 + 4аb² - 3а²b - 7 = (5а²b - 3а²b) + 4аb² + (2 - 7) = 2а²b + 4аb² - 5.

Каждый член многочлена 2а²b + 4аb² - 5 является одночленом стандартного вида, и этот многочлен не содержит подобных членов. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для отого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида 8ху + 6х²у³ - 9 служат одночлены второй, пятой и нулевой степеней. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен 8ху + 6х²y³ - 9 является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Пример 2. Определим степень многочлена 3а⁴ + 8ab - 2а⁴ - а⁴ + 5b.

Для этого приведём его к стандартному виду:

3а⁴ + 8ab - 2а⁴ - а⁴ + 5b.

Степень многочлена 8ab + 5b равна двум, поэтому степень многочлена 3а⁴ + 8ab - 2а⁴ - а⁴ + 5b также равна двум.

Упражнения

567. Назовите каждый член многочлена:

а) -6х⁴ + у³ - 5у + 11; б) 25ab + аb² - a²b + 8а - 7b.

568. Приведите подобные члены многочлена:

а) 10x - 8xy - 3ху;
б) 2ab - 7ab + 7а²;

в) 3x⁴ - 5х + 7х² - 8x⁴ + 5х;
г) 2а³ + а² - 17 - 3а² + а³ - а - 80.

569. Из данных многочленов выберите многочлен, тождественно равный выражению 3а² + 5.

1. 4а² - 4b - а² + 17b - b

2. -0,7а² - 7b - 2,3а²+ 8b

3. 12а² - 9b - 9а² + 6b + b

4. 1,8а² - 4,2b + 1,2а² + 5b + 0,2b

Окончание >>>