|
|
|
§ 10. Произведение одночлена и многочлена
Вынесение общего множителя за скобкиПри решении уравнений, в вычислениях и ряде других задач бывает полезно заменить многочлен произведением нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены). Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением многочлена на множители. Рассмотрим многочлен 6а2b + 15b2. Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3b: 6а2b + 15b2 = 3b • 2а2 + 3b • 5b. Полученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель 35, а другой — сумма 2аПолученное выражение на основе распределительного свойства умножения можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель 3b, а другой — сумма 2а2 и 5b: 3b • 2а2 + 3b • 5b = 3b (2а2 + 5b). Итак, 6а2b + 15b2 = 3b (2а2 + 5b). Мы разложили многочлен на множители, представив его в виде произведения одночлена 35 и многочлена 2а2 + 5b. Применённый способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки. Пример 1. Разложим на множители многочлен -15х2у3 - 30х3у2 + 45х4у.
В многочлене -15х2у3 - 30х3у2 + 45x4y модули коэффициентов — числа 15, 30 и 45. Их наибольший общий делитель равен 15. Поэтому в качестве коэффициента общего множителя можно взять число 15 или -15. Все члены многочлена содержат переменные х и у. Переменная х входит в них во второй, третьей и четвёртой степенях, поэтому за скобки можно вынести х2. Переменная у содержится в членах многочлена в третьей, второй и первой степенях, поэтому за скобки можно вынести у. Итак, за скобки целесообразно вынести одночлен 15х2у или -15х2у. Вынесем, например, за скобки -15х2у. Получим -152y3 - 30х3у2 + 45х4у = -15х2у(у2 + 2ху - 3х2). Пример 2. Разложим на множители выражение 3а2(b - 2с) + 7(b - 2с).
3а2(b - 2с) + 7(b - 2с) = (b - 2с)(3а2 + 7). Пример 3. Представим в виде произведения сумму а(х - у) + b(у - х).
а(х -у) + b(у - х) = а(х - у) + b(-1)(х - у) = а(х - у) - b(х - у) = (х - у)(а - b). Запись можно вести короче: а(х - у) + b(у - х) = а(х - у) - b(х -у) = (х - у)(а - b). Заметим, что преобразование b(у - х) = -b(х - у) можно объяснить иначе: если изменить знак у второго множителя и перед произведением, то значение выражения не изменится.
|
|
|