|
|
|
§ 11. Произведение многочленов
Умножение многочлена на многочленУмножим многочлен а + b на многочлен с + d. Составим произведение этих многочленов: (а + b)(с + d). Обозначим двучлен а + b буквой х и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен: (а + b)(c + d) = х(с + d) = хс + xd. В выражение хс + xd подставим вместо х многочлен а + b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен: хс + xd = (а + b)с + (а + b)d = ас + bс + ad + bd. Итак, (а + b)(с + d) = ас + bc + ad + bd. Произведение многочленов а + b и с + d мы представили в виде многочлена ас + bc + ad + bd. Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена а + b на каждый член многочлена с + d.
При умножении многочлена на многочлен пользуются правилом:
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов, на многочлен, содержащий n членов, в произведении (до приведения подобных членов) должно получиться mn членов. Этим можно пользоваться для контроля. В древности справедливость некоторых равенств при положительных значениях переменных математики доказывали геометрически. Так, великий греческий математик Евклид в своём трактате «Начала» (III в. до и. э.) справедливость равенства (а + b)(c + d) = ас + bc + ad + bd доказывал с помощью чертежа, изображённого на рисунке 68.
Пример 1. Умножим многочлен 4х222 + 2ху - у2 на многочлен 2х - у.
(4х2 + 2ху - у2)(2х - у) = 8х2 + 4х2у - 2xy2 - 4х2у - 2ху2 + у3 = 8х3 - 4ху2 + у3. Пример 2. Упростим выражение (2а - 3)(5 - а) - 3а(4 - а).
(2а - 3)(5 - а) - 3а(4 - а) = 10а - 15 - 2а2 + 3а - (12а - 3а2) = 13а - 15 - 2а2 - 12а + 3а2 = а2 + а - 15. Пример 3. Докажем, что при любом натуральном п значение выражения n(n - 5) - (n - 14) (n + 2) кратно 7.
n(n -5) - (n - 14)(n + 2) = n2 - 5n - (n2 - 14n + 2n - 28) = n2 - 5n - n2 + 14n - 2n + 28 = 7n + 28 = 7(n + 4). При любом натуральном л произведение 7(n + 4) делится на 7, а значит, и значение выражения n(n - 5)-(n - 14)(n + 2) делится на 7.
|
|
|