|
|
|
|
|
§ 11. Произведение многочленов
Деление с остатком (окончание)Например, при делении числа на 3 могут получиться остатки 0, 1 и 2. Соответственно множество целых чисел можно разбить на три класса: множество чисел вида 3k, множество чисел вида 3k + 1, множество чисел вида 3k + 2, где k — целое число. Аналогично, исходя из остатков от деления целого числа на 5, множество целых чисел можно разбить на пять классов: множество чисел вида 5k, множество чисел вида 5k + 1, множество чисел вида 5k + 2, множество чисел вида 5k + 3, множество чисел вида 5k + 4, где k — целое число. Пример. Докажем, что если целые числа а и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю, то число аb - 1 делится на 3.
В первом из этих случаев имеем ab - 1 = (3k + 1)(3р + 1) - 1 = 9kр + 3р + 3k + 1-1 = 9kр + 3р + 3k = 3 (3kр + р + k). Во втором случае имеем ab - 1 = (3k + 2)(3р + 2) - 1 = 9kр + 6р + 6k + 4 - 1 = 9kр + 6р + 6k + 3 = 3 (3 kр + 2р + 2k + 1). Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев число ab - 1 делится на 3. Упражнения 722. Найдите частное и остаток от деления: а) 138 на 7; б) -16 на 3; в) -4 на 5. 723. Найдите наибольшее целое отрицательное число, которое при делении на 11 даёт остаток 1. 724. Укажите все целые числа а, удовлетворяющие двойному неравенству -12 < а < 12, которые при делении на 7 дают остаток 3. 725. Укажите наибольшее число воскресений в году. 726. При делении целого числа m на 35 в остатке получили 15. Делится ли число m на 5? на 7? 727. При делении натурального числа а на натуральное число b в частном получили с и в остатке d. Могут ли все числа а, b, с и d быть нечётными? 728. Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают различные остатки (отличные от нуля), то число ab + 1 делится на 3. 729. Верно ли, что нри любых целых значениях а и b произведение ab (а + b) (а - b) делится на 3? 730. При делении целого числа а на 12 получается остаток 5. Какой остаток получится при делении этого числа на 4? 731. Одно из двух целых чисел нри делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения? 732. Найдите целое число, которое как нри делении на 5, так и при делении на 7 даёт остаток 1, причём первое частное на 4 больше второго. 733. Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.
|
По условию числа a и b дают при делении на 3 одинаковые остатки, не равные нулю. Значит, либо а = 3k + 1 и b = 3р + 1, либо а = 3k + 2 и b = 3р + 2, где k и р — целые числа.
|
|