Деление с остатком

Вам неоднократно приходилось встречаться со случаями, когда при делении одного натурального числа на другое получается остаток. Например, при делении числа 143 на 7 в частном получается 20 и в остатке 3:

143 : 7 = 20 (ост. 3),

причём остаток 3 меньше делителя.

Если из 143 вычесть 3, то полученная разность будет делиться на 7:

143 - 3 = 7 • 20.

В том случае, когда одно натуральное число делится на другое без остатка, условились считать, что остаток равен нулю.

Вообще число r называется остатком от деления натурального числа а на натуральное число b, если выполняются два условия: а - r делится на b и 0 ≤ r < b.

Определение остатка, принятое для натуральных чисел, переносится на случай, когда делимое является целым числом, а делитель — натуральным числом.

Целое число r называют остатком от деления целого числа а на натуральное число b, если разность а - t делится на b и 0 ≤ r < b.

Обозначив частное от деления а - r на b буквой q, получим, что

а - r = bq.

Отсюда

а = bq + r, где 0 ≤ r < b.

Например:

-13 = 5 • (-3) + 2, причём 0 ≤ 2 < 5.

Частное от деления числа -13 на 5 равно -3, а остаток равен 2.

При решении задач широкое применение находит следующее утверждение:

Для любого целого числа а и натурального b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b.

В справедливости этого утверждения можно убедиться, обратившись к координатной прямой. Пусть на координатной прямой отмечены числа, кратные b (рис. 69). Они разбивают координатную прямую на отрезки, концами которых являются точки с координатами bq и b(q +1), где q — целое число. Длина каждого из этих отрезков равна b. Произвольное число а изображается точкой, которая либо совпадает с левым концом отрезка, ограниченного точками с координатами bq и b(q + 1), либо находится внутри этого отрезка. В первом случае а = bq, т. е. а = bq + 0, а во втором а = bq + r, где 0 ≤ r < b. Таким образом, в любом случае найдётся единственная пара целых чисел q и r, такая, что а = bq + r, где 0 ≤ r < b.

На делении с остатком основаны различные разбиения множества целых чисел на классы, т. е. на подмножества, не имеющие общих элементов.

Окончание >>>