|
|
|
§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности
Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выраженийПри умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения. Возведём в квадрат сумму а + b. Для отого представим выражение (а + b)2 в виде произведения (а + b)(а + b) и выполним умножение: (а + b)2 = (а + b)(а + b) = a2 + ab + ab + b2 = а2 + 2ab + b2. Значит, (а + b)2 = а2 + 2 аb + b2. (1) Тождество (1) называют формулой квадрата суммы. Эта формула позволяет проще выполнять возведение в квадрат суммы любых двух выражений:
В «Началах» Евклида справедливость равенства (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 при положительных значениях а и b доказана геометрически с помощью чертежа, приведённого на рисунке 70.
Возведём в квадрат разность а - b, получим (а - b)2 = (а - b)(a - b) = а2 - ab - ab + b2 = а2 - 2ab + b2. Значит, (а - b)2 = а2 - 2 аb + b2. (2) Тождество (2) называют формулой квадрата разности. Она позволяет проще возводить в квадрат разность любых двух выражений:
Заметим, что тождество (2) можно получить из тождества (1), если представить разность а - b в виде суммы а + (-b): (а - b)2 = (а + (-b))2 = а2 + 2а (-b) + (-b)2 = а2 - 2аb + b2. Приведём примеры применения формул квадрата суммы и квадрата разности. Пример 1. Возведём в квадрат сумму 8х + 3.
(8х + 3)2 = (8х)2 + 2 • 8х • 3 + 32 = 64х2 + 48x + 9. Пример 2. Возведём в квадрат разность 10х - у.
(10x - у)2 = (10х)2 - 2 • 10x • y + y2 = 100х2 - 20ху + у2. Пример 3. Представим в виде многочлена выражение (-5а - 4)2.
(-5а - 4)2 = (5а + 4)2 = 25а2 + 40а +16. Пример 4. Упростим выражение 2х(3 + 8х) - (4х - 0,5)2.
2х(3 + 8х) - (4х - 0,5)2 = 6х + 16х2 - (16х2 - 4х + 0,25) = 6x + 16х2 - 16х2 + 4х - 0,25 = 10х - 0,25. Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности. Имеем (а + b)3 = (а + b)2(a + b) = (а2 + 2ab + b2)(а + b) = а3 + 2a2b + ab2 + а2b + 2ab2 + b3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3. Следовательно, (а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3. (3) Тождество (3) называют формулой куба суммы.
Аналогично можно получить, что (а - b)3 = а3 - 3а2b + 3аb2 - b3. (4) Тождество (4) называют формулой куба разности.
Заметим, что тождество (4) можно получить из тождества (3), если разность а - b представить в виде суммы а + (-b).
|
|
|