|
|
|
§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов
Разложение на множители суммы и разности кубовДля разложения на множители суммы кубов используется тождество а3 + b3 = (а + b)(a2 - ab + b2), (1) которое называют формулой суммы кубов. Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен а + b на трёхчлен а2 - ab + b2: (а + b)(a2 - ab + b2) = а3 - a2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = а3 + b3. Множитель а2 - ab + b2 в правой части формулы (1) напоминает трёхчлен а2 - 2ab + b2, который равен квадрату разности а и b. Однако вместо удвоенного произведения а и Ь в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен а2 - ab + b2 называют неполным квадратом разности а и b. Итак,
Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х3 + у3.
27x3 + у3 = (3х)3 + у3 Применив формулу (1), получим (3х)3 + у2 = (3х + у)(9х2 - 3ху + у2). Итак, 27х3 + у3 = (3х + у)(9х2 - 3ху + у2). Для разложения на множители разности кубов используется тождество а3 - b3 = (а - b)(а2 + ab + b2), (2) которое называют формулой разности кубов. Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена а - b и трёхчлена а2 + аb + b2, который называют неполным квадратом суммы а и b: (а - b)(a2 + ab + b2) = а3 + a2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = а3 - b3.
Пример 2. Разложим на множители многочлен m6 - n3.
m6 - n3 = (m2)3 - n3 = (m2 - n)(m4 + m2n + n2). Упражнения 905. Разложите на множители многочлен:
|
|
|