Главная >> Алгебра 7 класс. Макарычев. ГДЗ

§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов

Разложение на множители суммы и разности кубов

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество

а³ + b³ = (а + b)(a² - ab + b²),                     (1)

которое называют формулой суммы кубов.

Чтобы доказать тождество (1), умножим двучлен а + b на трёхчлен а² - ab + b²:

(а + b)(a² - ab + b²) = а³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = а³ + b³.

Множитель а² - ab + b² в правой части формулы (1) напоминает трёхчлен а² - 2ab + b², который равен квадрату разности а и b. Однако вместо удвоенного произведения а и Ь в нём стоит просто их произведение. Трёхчлен а² - ab + b² называют неполным квадратом разности а и b. Итак,

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

Пример 1. Разложим на множители многочлен 27х³ + у³.

Данный многочлен можно представить в виде суммы кубов двух выражений:

27x³ + у³ = (3х)³ + у³

Применив формулу (1), получим

(3х)³ + у² = (3х + у)(9х² - 3ху + у²).

Итак,

27х³ + у³ = (3х + у)(9х² - 3ху + у²).

Для разложения на множители разности кубов используется тождество

а³ - b³ = (а - b)(а² + ab + b²),                     (2)

которое называют формулой разности кубов.

Чтобы доказать тождество (2), преобразуем произведение двучлена а - b и трёхчлена а² + аb + b², который называют неполным квадратом суммы а и b:

(а - b)(a² + ab + b²) = а³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = а³ - b³.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Пример 2. Разложим на множители многочлен m⁶ - n³.

Представим данный многочлен в виде разности кубов двух выражений и применим формулу (2). Получим

m⁶ - n³ = (m²)³ - n³ = (m² - n)(m⁴ + m²n + n²).

Упражнения

905. Разложите на множители многочлен:

а) х3 - у6; б) а6 + b2;

в) m9 - n3; г) р3 + k9;

д) а6 + b9; е) х9 - у9.

Окончание >>>