Преобразование целого выражения в многочлен

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени). К целым относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Многочлены и, в частности, одночлены являются целыми выражениями. Например, 3,6х²у - 4ху² + 10x - 0,5у и — целые выражения. Примерами целых выражений служат такие выражения:

10y³ + (3х + у)(х² - 10у²), 2b(b² - 10с²) - (b³ + 2с²),

Выражение не является целым, так как в нём используется деление на выражение с переменной.

Выражение 10у³ + (3х + у)(х² - 10у²) является суммой одночлена 10у³ и произведения многочленов 3х + у и х² - 10у². Выражение 2b(b² - 10с²) - (b³ + 2с²) является разностью между произведением одночлена 2b и многочлена b² - 10с² и многочленом b³ + 2с². Мы знаем, что сумму, разность и произведение многочленов можно преобразовать в многочлен, поэтому каждое из этих целых выражений можно представить в виде многочлена.

Выражение отличается от рассмотренных тем, что в нём содержится деление на число, отличное от нуля. Бели деление заменить умножением на число, обратное делителю, то получится выражение которое, как и предыдущие выражения, составлено из многочленов с помощью действий сложения, вычитания, умножения. Поэтому это целое выражение также можно представить в виде многочлена.

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Пример 1. Представим в виде многочлена выражение

(х² + 2)² - (х - 2)(х + 2)(х² + 4).

Имеем

(x⁴ + 4х² + 4) - (х² - 4)(х² + 4) = х⁴ + 4х² + 4 - х⁴ + 16 = 4х² + 20.

Значит, данное выражение тождественно равно многочлену 4х² + 20.

Преобразование целого выражения в многочлен используется при решении уравнений, доказательстве тождеств, в задачах на делимость и т. п.

Пример 2. Докажем, что ни при каком целом n значение выражения (n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) не делится на 4.

Упростим данное выражение:

(n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) = (n² - 1) - (n² - 6n + 2n - 12) = n² - 1 - n² + 6n - 2n + 12 = 4n + 11.

Мы представили данное выражение в виде суммы 4n + 11. При любом целом я значение первого слагаемого делится на 4; второе слагаемое — число 11 — не делится на 4. Поэтому при любом целом я значение суммы 4n + 11, а значит, и значение исходного выражения (n + 1)(n - 1) - (n - 6)(n + 2) не делится на 4.

Упражнения

918. Какие из выражений 2х²у, 4а² - b(а - 3b), являются целыми?

919. Представьте в виде многочлена:

а) сумму многочлена х³ + 7х² + 8 и произведения многочленов х² - 6х + 4 и х - 1;

б) разность произведения многочленов а² + 7а - 4 и а -3 и многочлена а³ + 4а² - 29а +11.

Окончание >>>