|
|
|
§ 14. Преобразование целых выражений
Применение различных способов для разложения на множителиДля разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Иногда удаётся разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. При этом начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки. Пример 1. Разложим на множители многочлен 10а3 - 40а.
10а3 - 40а = 10а (а2 - 4). Разложение на множители можно продолжить, применив к выражению а2 - 4 формулу разности квадратов. В результате получим в качестве множителей многочлены более низких степеней. Имеем 10а(а2 - 4) = 10а(а + 2)(а - 2). Значит, 10а3 - 40а = 10а (а + 2) (а - 2). Пример 2. Разложим на множители многочлен ab3 - 3b3 + аb2у - 3b2у.
ab3 - 3b3 + ab2y - 3b2у = b2(ab - 3b + ау - 3у). Попытаемся теперь разложить на множители многочлен ab - 3b + ау - 3у. Сгруппировав первый член со вторым и третий с четвёртым, будем иметь ab - 3b + ау - 3у = b(а - 3) + у(а - 3) = (а - 3)(b + у). Окончательно получим аb3 - 3b2 + аb2у - 3b2у = b2(a - 3)(b + у). Пример 3. Разложим на множители многочлен а2 - 4ах - 9 + 4х2.
а2 - 4ах - 9 + 4х2 = (а2 - 4ах + 4х2) - 9 = (а - 2х)22- 9. Полученное выражение можно разложить на множители но формуле разности квадратов: (а - 2х)2 - 9 = (а - 2х)2 - 32 = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3). Следовательно, а2 - 4ах - 9 + 4х2 = (а - 2х - 3)(а - 2х + 3). Заметим, что при разложении многочлена на множители имеют в виду представление его в виде произведения нескольких многочленов, в котором хотя бы два множителя являются многочленами ненулевой степени (т. е. не являются числами). Не каждый многочлен можно разложить на множители. Например, нельзя разложить на множители многочлены х2 + 1, 4x2 - 2х + 1 и т. п. Рассмотрим пример использования разложения на множители для упрощения вычислений с помощью калькулятора. Пример 4. Найдём с помощью калькулятора значение многочлена 5x3 + 2х2 - 7х + 4 при x = 1,2.
5x3 + 2х2 - 7х + 4 = (5х2 + 2х - 7)х + 4 = ((5x + 2)х - 7)х + 4. Выполнив вычисления для х = 1,2, найдём, что значение многочлена равно 7,12.
|
|
|