Задачи повышенной трудности (окончание)

1208. Разложите на множители многочлен:

а) х⁸ + х⁴ - 2; б) а⁵ - а² - а - 1; в) n⁴ + 4; г) n⁴ + n² + 1.

1209. Докажите, что р² - 1 кратно 24, если р — простое число, большее 3.

1210. Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

1211. Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

1212. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

1213. Упростите выражение

(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1).

1214. Докажите, что уравнение х² - у² = 30 не имеет целых решений

1215. Докажите, что не существует целых коэффициентов а, b, с и d, таких, что значение многочлена ах³ + bх² + сх + d равно 1 при х = 19 и равно 2 при х = 62.

1216. Докажите, что если у есть среднее арифметическое х и z, то

х⁴ + 2x³z - 2xz³ - z⁴ - 4х²у² + 4y²z² = 0.

1217. Найдите все простые числа р и qy для которых р² - 2q² = 1.

1218. При каких значениях а, b, с и d является тождеством равенство

bх³ - 32х² + 75х - 71 = а(х - 2)³ + b(x - 2)² + с(х - 2) + d?

1219. Представьте многочлен 3х³ + 7х² + 9х + 6 в виде многочлена ay³ + by² + су + d, где у = х + 1.

1220. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3х + 7 у = 23?

1221. Решите систему уравнений:

1222. Найдите трёхзначное число, которое равно квадрату двузначного числа и кубу однозначного числа.

1223. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

1224. Найдите все пары простых чисел, которые являются решениями уравнения х + у = 26.

1225. Путь от А до В идёт 3 км в гору, 6 км иод гору и 12 км но ровному месту. Этот путь мотоциклист проделал за 1 ч 7 мин, а обратный путь — за 1 ч 16 мин. Найдите скорость мотоциклиста в гору и под гору, если на ровном месте его скорость 18 км/ч.

1226. Задача Л. Н. Толстого. Вышла в ноле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

1227. Из двух городов Ли В, расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин вышли навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус вышел на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

1228. Из города А в город В в 8 ч 50 мин вышли два автобуса. В то же в(юмя из города В в город А выехал велосипедист. Один автобус он встретил в 10 ч 10 мин, а другой — в 10 ч 50 мин. Расстояние между городами 100 км. Найдите скорость велосипедиста, если скорость одного автобуса в раза больше скорости другого.

1229. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 ч 40 мин. Найдите расстояние от Л до В и скорость всадника и пешехода.

1230. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели был на воздухе?

1231. Два брата ходят из школы домой с одинаковой скоростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы первый побежал в школу и, добежав до неё, немедленно бросился догонять второго. Оставшись один, второй продолжал идти домой в 2 раза медленнее. Когда первый брат догнал второго, они пошли с первоначальной скоростью и пришли домой на 6 мин позже, чем обычно. Во сколько раз скорость бега первого брата больше обычной скорости ходьбы братьев?

<<< К началу Решенния >>>