Задачи повышенной трудности (окончание)

1205. Умножим обе части на (10¹¹ + 1)(10¹² + 1); (10¹⁰ + 1)(10¹² + 1)?(10¹¹ + 1)(10¹¹ + 1); 10²² + 10¹² + 10¹⁰ +1?10²² + 2 • 10¹¹ + 1; вычтем 10²² + 1; 10¹⁰(10² + 1)?10¹⁰(2 • 10); разделим обе части на 10¹⁰; 101 > 20. Значит

1206. 2х² + 2у² = (х² + 2ху + у²) + (х² - 2ху + у²) = = (х + у)² + (х - у)²;

1207. 15х² - 18ху + 15у² = (9х² - 18ху + 9у²) + 6х² + 6у² = (3x - 3у)² + 6у² + 6х² > 0, т. к. 6у² > 0; 6x² > 0; (3x — 3у)² ≥ 0.

1208. а) х⁸ + х⁴ - 2 = (х⁸ - 1) + (х⁴ - 1) = (х⁴ - 1)(х⁴ + 1) + (х⁴ - 1) = (х⁴ - 1)(х⁴ + 2) = (х - 1)(х + 1)(х² + 1)(х⁴ + 2); б) а⁵ - а² - а - 1 = а • (а⁴ - 1) - (а² +1) = а • (а² - 1)(а² + 1) - (а² + 1) = (а² + 1)(а³ - а - 1); в) n⁴ + 4 - n⁴ + 4n² + 4 - 4n² = (n² + 2)² - (2n)² = (n² -2n + 2)(n² + 2n + 2); г) n⁴ + n² + 1 = (n⁴ + 2n² + 1) - n² = (n² + 1)² - n² - (n² - n + 1)(n² + n + 1).

1209. Имеем р² - 1 = (р + 1 )(р - 1), т. к. р простое число больше 3, значит р нечётное, и следовательно р + 1 и р - 1 последовательные чётные числа, причём одно из них кратно 4. Значит (р + 1 )(р - 1) делится на 2 • 4 = 8; Из чисел 3 последовательных чисел обязательно одно делится на 3 и так как р простое и не кратно 3, из чисел р + 1 и р - 1 обязательно одно делится на 3. Значит (р + 1)(р - 1) кратно 3 • 8 = 24.

1210. Имеем (n + 1)³ - n³ = n³ + 3n² + 3n + 1 - n³ = 3 • (n² + n) + 1; n² + n — при чётном п кратно 2, при не чётном n также кратно 2 так как сумма двух нечётных чисел равна чётному числу. Значит 3 • (n² + n) — делится на 6, a (n + 1)³ - n³ при делении на 6 даёт остаток 1.

1211. Имеем а - 2, а - 1, а, а + 1, а + 2 — пять последовательных натуральных чисел (а ≥ 3); (а - 2) + (а — 1)² + а² + (а + 1)² + (а + 2)² = а² - 4а + 4 + а² - 2а + 1 + а² + а² + 2а + 1 = а² + 4а + 4 = 5а² + 10;

1. Пусть а чётное, тогда а² = 4n, где n — натуральное число. 5а² + 10 = 20n + 10 = 10 • (2n + 1) = 5 • (4n + 2) = 2 • (10n + 5) — не может быть квадратом натурального числа, так как 10n + 5 всегда не чётное, значит при разложении числа 2 • (10n + 5); 2 встречается всего один раз.

2. Пусть а — не чётное, тогда а² = 2n + 1, где n — некоторое натуральное число. 5а² + 10 = 10n + 15 = 5 • (2n + 3). Мы представили 5а² + 10 в виде произведения двух натуральных чисел. Значит 2n + 3 = 5, n = 1, 5а² + 10 = 25; 5а² = 15, а² = 3. Натурального числа, квадрат которого равен 3 не существует, следовательно, если а — нечётное, то 5а² + 10 нельзя представить в виде квадрата некоторого натурального числа.

Рассмотрены все случаи. Утверждение доказано.

1212. Если число не кратно 3 то оно даёт в остатке при делении на три 1 или 2.

1. Остаток равен 1. (3n + 1)² - 1 = 9n² + 6n + 1 - 1 = 9n² + 6n = 3 • (3n² + 2n).

2. Остаток равен 2. (3n + 2)² - 1 = 9n² + 12n + 4 - 1 = 3 • (3n² +4n + 1).

1213. (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1) = (2 - 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1) = (2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1) = (2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1) = (2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1)(2³² + 1) = (2³² - 1)(2³² + 1) - 2⁶⁴ - 1.

1214. Дано х² - у² = 30. Так как х² = (-х)² будем рассматривать только положительные числа и ноль. То есть х ≥ 0, у ≥ 0.

1. Пусть х = n, у = 2k. х² - у² = 4 • (n² - k²) = 30; 2 • (n² - k²) = 15, но х и у целые числа. Значит данное выражение не имеет решений.

2. Пусть х = 2n + 1, у = 2k + 1; х² - у² = (2n + 1)² - (2к + 1)² = 4 • (n² + n - k² - k) = 30; 2 • (n² + n - k² - k) = 15. Очевидно, что при целых п и к не имеет решений.

3. При х чётном, а у нечётном или наоборот, х² - у² будет нечётное число (в результате вычитания из чётного числа нечётное получится чётное) но должно быть чётным. Противоречие. Значит х² - у² = 30 не имеет целых решений.

1216. Дано: у = х⁴ + 2x³z — 2xz³ - z⁴ - 4х²у² + 4y²z² = х⁴ + 2x³z - 2xz³ - z⁴ - x/sup>2(x + z)² + z²(x + z) =; = x⁴ + 2x³z - 2xz³ - z⁴ x⁴ 2x³z - x²z² + z²x² + 2z³х + z⁴ = 0.

1217. Дано: p² - 2q² = 1 ⇒ 2q² = p² - 1 ⇒ 2q² = (p - 1)(p + 1).

1. Пусть p чётное. Единственное чётное простое число это 2. 2q² = 3. Не может быть такого при простом q.

2. Пусть р не чётное. Тогда р = 2n + 1 где n какое то натуральное число, тогда (р - 1 )(р + 1) = (2n + 1 - 1)(2n + 1 + 1) = 4n • (n + 1), значит q² = 2n • (n + 1), а значит q кратно 2. Единственное простое число которое делится на 2 это 2. q = 2. 8 = р² - 1; р² = 9; p = 3. Ответ: q = 2, р = 3.

1218. 5х³ - 32х² + 75х - 71; а(х - 2)³ + 6(х - 2)² + с • (х - 2)+d = а • (х³ - 3х² • 2 + 3х • 4 - 8) + 6 • (х² - 4х + 4) + сх -; -2с + d = ах³ - 6ах² + 12ах - 8а + bх² - 4bх + 4b + сх - 2с + d = ах³ + (-6а + b)х² + (12а - 4b + с)х + (-8а + 4b - 2с + d). Значит 5х³ = ах³; а = 5; (-6а + b)х² = -32х²; -30 + b = -32; b = -2; (12а - 4b + с)х = 75х; 60 + 8 + с = 75; с = 7; -8а + 4b -2c + d= -71; -40 - 8 - 14 + d = 71; d = -9. Ответ: а = 5, b = -2, с = 7, d = -9.

1222. Если трёхзначное число равно квадрату двухзначного и кубу однозначного, значит это 6 степень какого-то однозначного числа, подходит только 3, значит искомое число 3⁶ = 9³ = 27² = 729. Ответ: 729.

1224. Выпишем все простые числа меньше 26: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Из х + у = 26 имеем, что: х = 3, у = 23; х = 7, у = 19; х = 13; у = 13; х = 19, y = 7; х = 23, у = 3.

<<< К началу