Уравнение и его корни

Рассмотрим задачу: «На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Ксли с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?»

Обозначим буквой х число книг на верхней нолке. Тогда число книг на нижней нолке равно 4х. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется 4х - 15 книг, а на верхней будет х + 15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,

4х - 15 = х + 15.

Чтобы найти неизвестное число книг, мы составили равенство, содержащее переменную. Такие равенства называют уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным.

Нам надо найти число, при подстановке которого вместо х в уравнение 4х - 15 = х + 15 получается верное равенство. Такое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

Определение Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Из уравнения

4х - 15 = х + 15

находим, что

4х - х = 15 + 15,

3х = 30,

х = 10.

Уравнение 4х - 15 = х + 15 имеет один корень — число 10.

Можно привести примеры уравнений, которые имеют два, три и более корней или не имеют корней.

Так, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6. Действительно, каждое из этих чисел обращает в нуль один из множителей произведения (х - 4)(х - 5)(х - 6), а значит, и само произведение. При любом другом значении х ни один из множителей в нуль не обращается, а значит, не обращается в нуль и произведение. Уравнение х + 2 = х не имеет корней, так как при любом значении х левая часть уравнения на 2 больше его правой части.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Уравнение х² = 4 имеет два корня — числа 2 и -2. Уравнение (х - 2)(х + 2) = 0 также имеет корни 2 и -2. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями. Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.

При решении уравнений используются следующие свойства:

если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, равносильны уравнения 5х = 2х + 7 и 5х - 2х = 7, равносильны также уравнения 6х = 2х + 8 и 3х = х + 4.

Указанные свойства уравнений можно доказать, опираясь на свойства числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или обе части верного равенства умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится верное равенство.

Окончание >>>