Дополнительные задачи к главе VIII (продолжение)

724. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Решение

Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD

АВ + CD = ВС + AD. (1)

Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон AD, АВ и ВС, поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трёх сторон (рис. 238, а). Докажем, что эта окружность касается также стороны CD и, значит, является вписанной в четырёхугольник ABCD. Предположим, что это не так. Тогда прямая CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (рис. 238, б).

Проведём касательную C'D', параллельную стороне CD (С и D' — точки пересечения касательной со сторонами ВС и AD). Так как ABCD' — описанный четырёхугольник, то по свойству его сторон

AB + C'D' = BC' + AD'. (2)

Но ВС = ВС - С'С, AD' = AD - D'D, поэтому из равенства (2) получаем:

C'D' + С'С + D'D = ВС + AD - АВ.

Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким образом, приходим к равенству

C'D' + С'С + D'D = CD,

т. е. в четырёхугольнике C’CDD' одна сторона равна сумме трёх других сторон. Но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны CD, что и требовалось доказать.

725. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.

726. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

727. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O₁ и около него описана окружность с центром O₂. Докажите, что точки О₁ и O₂ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

728. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.

729.* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение

Пусть в четырёхугольнике ABCD

∠A + ∠C= 180°. (1)

Проведём окружность через три вершины четырёхугольника: А, В и D (рис. 239, а) — и докажем, что она проходит также через вершину С, т. е. является описанной около четырёх угольника ABCD. Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его. Рассмотрим первый случай (рис. 239, б). В этом случае (см. задачу 718), и, следовательно, Так как то

Итак, мы получили, что ∠A + ∠C > 180°. Но это противоречит условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать (опираясь на задачу 719), что вершина С не может лежать вне круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и требовалось доказать.

<<< К началу Ответы >>>