Задачи повышенной трудности к главе VI. Площадь

829. Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.

830. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВК равны соответственно S₁, S₂, S₃.

831. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки М и К, а на отрезке МК — точка Р так, что Найдите площадь треугольника АВС, если площади треугольников АМР и ВКР равны S₁ и S₂.

832. Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.

833. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

834. Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке О. Площади треугольников БОС и AOD равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.

835. Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.

836. Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках М и К. Докажите, что площади треугольников DCM и АКБ равны.

837. Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на отрезок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕОК равны.

838. Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

839. Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и МВ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.

840. Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны а и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

841. Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и CDM равны соответственно S₁ и S₂.

842. Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.

843. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите угол ВКМ, если ∠BAC = α.

844. Внутри прямоугольника ABCD взята точка М. Известно, что МВ = а, МС = b и MD = c. Найдите длину отрезка МА.

845. В треугольнике АВС проведена высота BD. Отрезок К А перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки МВ и КВ равны.

846. Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенство S_OAB = S_OAC = S_OBC. Докажите, что справедливо равенство ОА² + ОВ² = 5ОС².

Ответы >>>