Свойства прямоугольного параллелепипеда

Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трёх рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. Так, у прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 349, в качестве измерений можно взять длины рёбер АВ, AD и АА₁.

Рис. 349

У прямоугольника два измерения — длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

В самом деле, обратимся к рисунку 349, на котором изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, и докажем, что

Ребро СС₁ перпендикулярно к плоскости грани ABCD, т. е. перпендикулярно к любой прямой, лежащей в плоскости этой грани и проходящей через точку С. Поэтому угол АСС₁ — прямой. Из прямоугольного треугольника АСС₁ по теореме Пифагора получаем:

Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC² = AB² + AD². Кроме того, СС₁ = ВВ₁ = АА₁ Следовательно, что и требовалось доказать.

Остановимся ещё на одном свойстве, иллюстрирующем аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Окончание >>>