Задачи к § 1. Многогранники (продолжение)

1196. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объём которого равен объёму этого параллелепипеда.

1197. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АС₁ = 13 см, BD= 12 см и ВС₁ = 11 см.

1198. Докажите, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим призму и прямоугольный параллелепипед с площадями оснований, равными S, и высотами, равными h, «стоящие» на одной плоскости (рис. 357).

Рис. 357

Докажем, что объём призмы равен Sh. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости оснований, даёт в качестве сечения призмы равный её основанию многоугольник площади S, а в качестве сечения прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник площади S. Следовательно, объём призмы равен объёму параллелепипеда. Но объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т. е. равен Sh. Поэтому и объём призмы равен Sh.

1199. Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если ∠BAC= 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см, а наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см².

1200. Найдите объём правильной «-угольной призмы, все рёбра ко торой равны а, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

1201. Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней — прямые?

1202. Изобразите тетраэдр DABC и на рёбрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.

1203. Изобразите тетраэдр KLMN и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN.

1204. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точки М и N на рёбрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

1205. Докажите, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

1206. Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды (т. е. сумма площадей её боковых граней) равна половине произведения периметра основания на апофему.

1207. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые рёбра пирамиды, если её высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

1208. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

1209.* Через точку Н₁ высоты PH пирамиды РА₁А₂...А_n проведена секущая плоскость β, параллельная плоскости α её основания.

Докажите, что площадь полученного сечения равна где S — площадь основания пирамиды.

Решение

Докажем это утверждение сначала для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду РА₁А₂А₃ и докажем, что рассматриваемое сечение представляет собой треугольник В₁В₂В₃, подобный треугольнику А₁А₂А₃ с коэффициентом подобия (рис. 358, а). Прямоугольные треугольники РНА₁ и РН₁В₁ подобны по двум углам (угол Р — общий; ∠PH₁B₁ = ∠PHA₁ = 90°, так как в противном случае прямые НА₁ и Н₁В₁, а значит, и плоскости α и β пересекались бы, что противоречит условию), поэтому Аналогично из подобия треугольников РНА₂ и РН₁В₂ находим: Таким образом, откуда следует, что треугольники РВ₁В₂ и РА₁А₂ подобны по второму признаку подобия треугольников. Поэтому Точно так же доказывается, что и Таким образом, треугольники В₁В₂В₃ и А₁А₂А₃ подобны с коэффициентом подобия и, следовательно, площадь треугольника В₁В₂В₃ равна

Рис. 358

Рассмотрим теперь произвольную пирамиду. Её можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой РН (на рисунке 358, б показано разбиение выпуклой пятиугольной пирамиды). Поэтому площадь сечения равна

<<< К началу Ответы >>>