Ответы к задачам § 1. Многогранники

1210. Докажите, что объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Решение

Воспользуемся принципом Кавальери. Рассмотрим две пирамиды, «стоящие» на одной плоскости: произвольную пирамиду с площадью основания S и высотой PH = h и правильную четырёхугольную пирамиду с высотой QO = h и стороной основания 2к (рис. 359). Согласно доказанному в п. 128 объём второй пирамиды равен Требуется доказать, что объём V первой пирамиды равен

Рис. 359

Проведём секущую плоскость, параллельную плоскости оснований пирамид и пересекающую высоты PH и QO в точках Н₁ и О₁ соответственно. Площадь сечения первой пирамиды равна а площадь сечения второй — (см. задачу 1209). По условию PH = QO = h. Интуитивно ясно также, что PH₁ = QО₁ (аккуратное доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии 10—11 классов). Следовательно, площадь сечения первой пирамиды в раз больше площади сечения второй пирамиды. Поэтому и её объём V в раз больше, т. е. что и требовалось доказать.

1211. Найдите объём пирамиды с высотой h, если: а) h = 2м, а основанием является квадрат со стороной 3 м; б) h = 2,2 м, а основанием является треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС =13,5 см, ∠ABC = 30°.

1212. Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если сторона её основания равна m, а плоский угол (т. е. угол грани) при вершине равен α. 1184. а) 6, 12, 8; б) 4, 6, 4; в) 8, 12, 6. 1187. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет. 1189. а) Параллелограмм ABC₁D₁; б) параллелограмм АСС₁А₁. 1190. Искомой точкой является точка пересечения прямых: a) MN и ВС; б) AM и A₁B₁. 1191. Указание. Сначала через середину ребра CD провести прямую, параллельную B₁D₁. 1192. Указание, а) Сначала через точку М провести прямую, параллельную NK, и далее рассмотреть отдельно случаи, когда эта прямая пересекается с ребром ВС и когда она пересекается с ребром СС₁; б) сначала через точку N провести прямую а, параллельную МК, и далее рассмотреть отдельно три случая: прямая а пересекает ребро АА₁; прямая а пересекает ребро DD₁; прямая а совпадает с AD.

Ответы к задачам § 1. Многогранники

1193. a) √6; б) 17; в) 13.

1194. а√3.

1195. a) V = V₁ + V₂;

1196. 12 см.

1197. 240√2 см³.

1199.

1200. б) а³; г) 2а³ ctg 22°30'.

1201. Нет.

1207. √58 см, √58 см, √65 см, √65см.

1208. 3а².

1211. а) 6 м³; б) 4950 см³.

1212.

<<< К началу