Дополнительные задачи к главе XIV. Начальные сведения из стереометрии

1232. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.

1233. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

1234. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте:

а) его сечения плоскостями АВС₁ и DCB₁, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются;
б) его сечение плоскостью, проходящей через ребро СС, и точку пересечения диагоналей грани AA₁D₁D.

1235. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра АА₁, a L — середина ребра СС₁. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

1236. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм², а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

1237. Найдите объём куба ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АС = 12 см; б) АС₁ = 3√2; в) DE = 1 см, где Е — середина ребра АВ.

1238. Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если АВ = ВС = m, ∠ABC = φ и ВВ₁ = BD, где BD — высота треугольника АВС.

1239. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объём призмы.

1240. Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

1241. Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь поверхности пирамиды, т. е. сумму площадей всех её граней.

1242. Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.

1243. В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания равна а. Найдите объём пирамиды.

1244. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия равна 2,6 г/см³).

1245. Свинцовая труба (плотность свинца равна 11,4 г/см³) с толщиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если её длина равна 25 м?

1246. Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288 π см². Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

1247. Из квадрата, диагональ которого равна d, свёрнута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.

1248. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём отсекаемого от него конуса равен 24 см³.

1249. Высота конуса равна 12 см, а его объём равен 324π см³. Найдите дугу развёртки боковой поверхности этого конуса.

Окончание >>>